评价类模型

层次分析法

1. 概述

层次分析法（AHP）是将要决策的问题及其有关因素分解成目标、准则、方案等层次，进而进行定性和定量分析的决策方法。它的特征是合理地将定性与定量决策结合起来，按照思维、心理的规律把决策过程细致化（层次化、数量化）。

2. 建模步骤

1. 建立递阶层次结构模型；
2. 构造出各层次中的所有判断矩阵；
3. 层次单排序及一致性检验；
4. 层次总排序及一致性检验。

2.1. 层次建立

2.2. 构建判断矩阵

$$A = (\begin{bmatrix}a_{11} & ... & a_{1n}\\\vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & ... & a_{nn}\end{bmatrix}) = (a_{ij})_{m \times n}$$

定义：

定义1： 若矩阵 $A = (a_{ij})_{m \times n}$ 满足

1. $a_{ij} > 0$
2. $a_{ij} = \frac{1}{a_{ij}}(i,j = 1,2,...,n)$

称之为正反矩阵。

• 标度

  

2.3. 层次单排序及一致性检验

一致性矩阵：满足关系式 $a_{ij}a_{jk} = a_{ik},\forall i,j,k = 1,2, \cdots n$ 的正反矩阵称为一致性矩阵。

1. 计算一致性指标$CI$

   $$CI = \frac{\lambda_{max} -n}{n - 1}$$

2. 查找对应的随机一致性指标$RI$

   n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
   $RI$	0	0	0.52	0.89	1.12	1.26	1.36	1.41	1.46	1.49	1.52	1.54	1.56	1.58	1.59

3. 计算一致性比例$CR$

   $$CR = \frac{CI}{RI}$$

   如果$CR<0.1$,则可以认为判断举证的一致性可以接受；否则需要对判断矩阵镜像修正。

2.4. 判断矩阵计算权重

1. 算术平均法求权重
2. 几何平均法求权重
3. 特征值法求权重

3. 参考文献

1.1 层次分析法模型部分_哔哩哔哩_bilibili

数学建模十大算法之——层次分析法 - 知乎 (zhihu.com)